Écrire une matrice de passage et son inverse

La matrice de passage. La règle est : les colonnes de $P$ sont les nouveaux vecteurs, écrits à l'ancienne. Le premier vecteur de ${\mathcal{B}}^{\prime }$ est $(1,2)$, le second $(0,1)$, tous deux déjà donnés dans la base canonique. Donc $$P=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right).$$

L'inverse. On résout $PX=Y$, c'est-à-dire le système $$\{\begin{array}{l}{x}_1=y_1,\\ 2x_1+x_2=y_2.\end{array}$$ La première ligne donne $x_1=y_1$, que l'on reporte dans la seconde : $x_2=y_2-2y_1$. Le système admet donc une solution unique quel que soit $Y$, ce qui prouve l'inversibilité, et $$P^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -2& 1\end{array}\right).$$

Contrôle. On vérifie le produit : $$P^{-1}P=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -2+2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I_2.$$

Une lecture. $P^{-1}=P_{{\mathcal{B}}^{\prime },\mathcal{B}}$ : c'est la matrice de passage dans l'autre sens, celle qui écrit les anciens vecteurs à la nouvelle.