La trace d'un produit de trois matrices

Ce qu'on montre. La trace est invariante par permutation circulaire des facteurs, mais pas par permutation quelconque. On s'autorise la seule relation $\mathrm{Tr}(XY)=\mathrm{Tr}(YX)$.

L'invariance circulaire. Appliquons $\mathrm{Tr}(XY)=\mathrm{Tr}(YX)$ avec $X=A$ et $Y=BC$ : $$\mathrm{Tr}(ABC)=\mathrm{Tr}(A(BC))=\mathrm{Tr}((BC)A)=\mathrm{Tr}(BCA).$$ Puis avec $X=B$ et $Y=CA$ : $$\mathrm{Tr}(BCA)=\mathrm{Tr}(B(CA))=\mathrm{Tr}((CA)B)=\mathrm{Tr}(CAB).$$ Les trois quantités sont donc égales. Le point délicat est de bien regrouper deux des trois facteurs avant d'appliquer la relation : celle-ci ne concerne qu'un produit de deux matrices.

Un contre-exemple pour l'échange de $B$ et $C$. Prenons dans ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ $$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right).$$ On calcule $BC=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$ et $CB=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$. Donc $$ABC=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right),ACB=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right).$$ Ainsi $\mathrm{Tr}(ABC)=1$ et $\mathrm{Tr}(ACB)=0$ : l'échange de deux facteurs non consécutifs dans le cycle change la trace.