Les matrices de trace nulle forment un hyperplan

Ce qu'on montre. $H$ est le noyau d'une forme linéaire non nulle ; le théorème du rang fait le reste.

Un sous-espace. L'application $\mathrm{Tr}:{\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})\to \mathbb{R}$ est linéaire : $\mathrm{Tr}(\lambda A+\mu B)=\lambda \mathrm{Tr}(A)+\mu \mathrm{Tr}(B)$, ce qui se lit coefficient diagonal par coefficient diagonal. Donc $H=\ker (\mathrm{Tr})$ est un sous-espace vectoriel de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$.

Sa dimension. $\mathrm{Tr}$ n'est pas l'application nulle : $\mathrm{Tr}(E_{1,1})=1$. Son image est donc un sous-espace non nul de $\mathbb{R}$, c'est-à-dire $\mathbb{R}$ lui-même, de dimension $1$. Le théorème du rang, appliqué à $\mathrm{Tr}$ sur ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ qui est de dimension $n^2$, donne $$\dim H=n^2-1.$$

Une base pour $n=2$. On doit trouver $3$ matrices libres de trace nulle. Posons $$M_1=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),M_2=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right),M_3=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right).$$ Leurs traces valent $0$, $0$ et $1-1=0$ : elles sont dans $H$. Elles sont libres : si $a{M}_1+b{M}_2+c{M}_3=0$, la matrice $\left(\begin{array}{cc}c& a\\ b& -c\end{array}\right)$ est nulle, donc $a=b=c=0$. Trois vecteurs libres dans un espace de dimension $2^2-1=3$ en forment une base.

Le point délicat. On n'a jamais eu à décrire $H$ par un système : c'est la linéarité de la trace qui donne tout, et la dimension tombe du théorème du rang.