Linéarité de la trace et commutation sous la trace

Les traces simples. La trace est la somme des coefficients diagonaux : $$\mathrm{Tr}(A)=1+3=4,\mathrm{Tr}(B)=0+(-1)=-1.$$

La somme et le multiple. $$A+B=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 4& 2\end{array}\right)\Rightarrow \mathrm{Tr}(A+B)=1+2=3=4+(-1),$$ $$5A=\left(\begin{array}{cc}5& 10\\ 0& 15\end{array}\right)\Rightarrow \mathrm{Tr}(5A)=5+15=20=5\times 4.$$ On retrouve la linéarité : $\mathrm{Tr}(\lambda A+\mu B)=\lambda \mathrm{Tr}(A)+\mu \mathrm{Tr}(B)$.

Les deux produits. $$AB=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 4& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0+8& 1-2\\ 0+12& 0-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}8& -1\\ 12& -3\end{array}\right),$$ $$BA=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 4& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0+0& 0+3\\ 4-0& 8-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 3\\ 4& 5\end{array}\right).$$ Donc $\mathrm{Tr}(AB)=8-3=5$ et $\mathrm{Tr}(BA)=0+5=5$.

Ce qu'on constate. $\mathrm{Tr}(AB)=\mathrm{Tr}(BA)$, comme l'annonce le cours — alors que $AB\ne BA$, ce que montre la comparaison des deux matrices écrites ci-dessus. La trace du produit ne dépend pas de l'ordre, le produit lui-même en dépend.