mathématiques approfondies (ECG 2e année) · Chapitre 1 · Exercice d'entraînement

Polynômes pairs et polynômes impairs

Compléments d'algèbre linéaire · Sommes de sous-espaces · ★★★ niveau 3 (difficile)

Énoncé

Pour $P\in {\mathbb{R}}_3[x]$, on note $\tilde{P}$ le polynôme défini par $\tilde{P}(x)=P(-x)$, et l'on pose $$F=\{P\in {\mathbb{R}}_3[x]\mid \tilde{P}=P\},G=\{P\in {\mathbb{R}}_3[x]\mid \tilde{P}=-P\}.$$ Montrer que ${\mathbb{R}}_3[x]=F\oplus G$, puis décomposer $P(x)=x^3+2x^2-x+5$.

Un exercice à chercher : son corrigé n'est pas publié. Sur Adloun, le tuteur guide par questions, sans donner la réponse.