Quand les deux sous-espaces sont confondus

Les deux droites sont la même. On remarque que $(2,6)=2(1,3)$. Donc :

• tout vecteur de $G$ s'écrit $\mu (2,6)=(2\mu )(1,3)$, il appartient à $F$ : $G\subset F$ ;
• tout vecteur de $F$ s'écrit $\lambda (1,3)=\frac{\lambda }{2}(2,6)$, il appartient à $G$ : $F\subset G$.

Par double inclusion, $F=G$.

La somme n'est pas directe. L'intersection vaut $F\cap G=F$, qui contient par exemple $(1,3)\ne (0,0)$. Elle n'est donc pas réduite au vecteur nul, et la caractérisation du cours dit que la somme n'est pas directe.

Voir le défaut d'unicité directement. Le vecteur $(1,3)$ admet au moins deux écritures comme somme d'un élément de $F$ et d'un élément de $G$ : $$(1,3)=\underset{\in F}{\underbrace{(1,3)}}+\underset{\in G}{\underbrace{(0,0)}}\text{et}(1,3)=\underset{\in F}{\underbrace{(0,0)}}+\underset{\in G}{\underbrace{(1,3)}}.$$ C'est exactement ce que « non directe » signifie : l'écriture n'est pas unique.

La somme. Comme $F=G$, on a $F+G=F=\mathrm{Vect}((1,3))$, de dimension $1$. On note au passage que $\dim F+\dim G=2\ne 1$ : la formule d'addition des dimensions ne vaut que pour une somme directe.