Recoller deux applications linéaires

Ce qu'on montre. Existence et unicité. C'est l'unicité de la décomposition qui fournit les deux, et rien d'autre.

Unicité. Supposons $w$ convenable et soit $z\in E$. Comme $E=F\oplus G$, il existe $x\in F$ et $y\in G$ avec $z=x+y$. La linéarité de $w$ impose alors $$w(z)=w(x)+w(y)=u(x)+v(y).$$ La valeur de $w$ en tout point est donc imposée par $u$ et $v$ : deux applications convenables coïncident partout, il y a au plus une solution.

Existence. La formule précédente définit une application, à condition que $x$ et $y$ soient déterminés par $z$ — et ils le sont, précisément parce que la somme est directe : c'est ici que l'hypothèse sert, et c'est le point délicat. Posons donc $w(z)=u(x)+v(y)$ où $z=x+y$ est l'unique décomposition de $z$.

$w$ est linéaire. Soient $z=x+y$ et $z^{\prime }=x^{\prime }+y^{\prime }$ les décompositions de deux vecteurs, et $\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$. Alors $$\lambda z+\mu z^{\prime }=\underset{\in F}{\underbrace{(\lambda x+\mu x^{\prime })}}+\underset{\in G}{\underbrace{(\lambda y+\mu y^{\prime })}},$$ et cette écriture est la décomposition de $\lambda z+\mu z^{\prime }$, par unicité. Donc, par définition de $w$ puis par linéarité de $u$ et de $v$ : $$w(\lambda z+\mu z^{\prime })=u(\lambda x+\mu x^{\prime })+v(\lambda y+\mu y^{\prime })=\lambda (u(x)+v(y))+\mu (u(x^{\prime })+v(y^{\prime }))=\lambda w(z)+\mu w(z^{\prime }).$$

Conclusion. $w$ existe, est linéaire, prolonge $u$ sur $F$ (si $z\in F$, sa décomposition est $z+0$) et $v$ sur $G$, et c'est la seule.