Retrouver les coordonnées dans une nouvelle base

Ce qu'on cherche. Deux réels $a$ et $b$ tels que $$u=a(1,2)+b(2,3),$$ c'est-à-dire la colonne $X_{{\mathcal{B}}^{\prime }}={}^t(a,b)$ des coordonnées de $u$ dans ${\mathcal{B}}^{\prime }$.

Le système. En écrivant l'égalité coordonnée par coordonnée : $$\{\begin{array}{l}a+2b=0,\\ 2a+3b=1.\end{array}$$ La première ligne donne $a=-2b$. En la reportant dans la seconde : $-4b+3b=1$, soit $-b=1$, donc $b=-1$, puis $a=2$.

Le résultat. $$X_{{\mathcal{B}}^{\prime }}=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right).$$

Contrôle. $2(1,2)-1(2,3)=(2-2,4-3)=(0,1)=u$. C'est bien le vecteur de départ.

Le lien avec la matrice de passage. Avec $P=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 3\end{array}\right)$, la formule du cours s'écrit $X_{\mathcal{B}}=P{X}_{{\mathcal{B}}^{\prime }}$ : résoudre le système ci-dessus, c'est exactement inverser cette relation. Le même vecteur porte deux colonnes, ${}^t(0,1)$ dans la base canonique et ${}^t(2,-1)$ dans ${\mathcal{B}}^{\prime }$ — changer de base ne déplace rien, cela change la façon de compter.