Semblable à son double

Ce qu'on montre. Deux conséquences de la seule invariance de la trace par similitude.

Première étape. Par hypothèse, il existe $P$ inversible telle que $P^{-1}AP=2A$. Deux matrices semblables ont la même trace, donc $$\mathrm{Tr}(A)=\mathrm{Tr}\left(P^{-1}AP\right)=\mathrm{Tr}(2A)=2\mathrm{Tr}(A),$$ la dernière égalité par linéarité. D'où $\mathrm{Tr}(A)=2\mathrm{Tr}(A)$, puis $\mathrm{Tr}(A)=0$.

Le passage aux puissances. Élevons la relation $P^{-1}AP=2A$ à la puissance $k$. Le membre de gauche se télescope : $$(P^{-1}AP{)}^k=\underset{k\text{facteurs}}{\underbrace{P^{-1}AP\cdot P^{-1}AP\cdots P^{-1}AP}}=P^{-1}{A}^{k}P,$$ puisque chaque $P{P}^{-1}$ intérieur vaut $I_n$. Le membre de droite vaut $(2A{)}^k=2^k{A}^k$. Donc $A^k$ est semblable à $2^k{A}^k$.

Seconde étape. La même invariance donne alors $$\mathrm{Tr}(A^k)=\mathrm{Tr}\left(2^k{A}^k\right)=2^k\mathrm{Tr}(A^k),$$ soit $(2^k-1)\mathrm{Tr}(A^k)=0$. Comme $k⩾1$, on a $2^k⩾2$, donc $2^k-1\ne 0$ et $\mathrm{Tr}(A^k)=0$.

Le point délicat. C'est l'étape de mise à la puissance : elle n'est légitime que parce que la similitude se conserve par produit, ce que montre le télescopage écrit ci-dessus.