Semblables, vraiment ?

$A$ et $B$ : non. Leurs traces sont pourtant égales ($1+3=4$ et $2+2=4$), mais l'égalité des traces est une condition nécessaire, pas suffisante. Ici $B=2I_2$ est une homothétie : pour toute matrice inversible $P$, $P^{-1}(2I_2)P=2I_2=B$. La seule matrice semblable à $B$ est $B$ elle-même, et $A\ne B$.

$A$ et $C$ : oui. $A$ est triangulaire supérieure de coefficients diagonaux $1$ et $3$ ; on montrera au chapitre 3 que ce sont ses valeurs propres, qu'elles sont distinctes, et donc que $A$ est diagonalisable de matrice diagonale $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$ — semblable à $C$ à l'ordre des colonnes près. Explicitement, avec $P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$ on vérifie $P^{-1}AP=C$.

La morale. La trace ne suffit jamais à conclure qu'on est semblable ; elle suffit souvent à conclure qu'on ne l'est pas.