Somme directe, ou pas

Intersection. Un vecteur de $F$ s'écrit $\lambda (1,0,0)$. Il appartient à $G$ si sa première coordonnée est nulle, c'est-à-dire si $\lambda =0$. Donc $F\cap G=\{0\}$ : la somme est directe.

La somme. $\dim F=1$ et $\dim G=2$ ($G$ est le plan d'équation $x=0$, de base $((0,1,0),(0,0,1))$). Donc $\dim (F\oplus G)=1+2=3=\dim {\mathbb{R}}^3$, d'où $F\oplus G={\mathbb{R}}^3$.

Autrement dit, tout vecteur $(x,y,z)$ s'écrit d'une seule façon $x(1,0,0)+(0,y,z)$ — et cette écriture, on la lisait déjà.