Somme directe, ou pas

Exercice · niveau 1 (application) · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 1 — Compléments d'algèbre linéaire · Sommes directes

Énoncé

Dans $R^{3}$ , on pose $F = Vect ((1, 0, 0))$ et $G = {(x, y, z) ∣ x = 0}$ . La somme $F + G$ est-elle directe ? Que vaut-elle ?

Corrigé

Intersection. Un vecteur de $F$ s'écrit $λ (1, 0, 0)$ . Il appartient à $G$ si sa première coordonnée est nulle, c'est-à-dire si $λ = 0$ . Donc $F \cap G = {0}$ : la somme est directe.

La somme. $dim F = 1$ et $dim G = 2$ ( $G$ est le plan d'équation $x = 0$ , de base $((0, 1, 0), (0, 0, 1))$ ). Donc $dim (F \oplus G) = 1 + 2 = 3 = dim R^{3}$ , d'où $F \oplus G = R^{3}$ .

Autrement dit, tout vecteur $(x, y, z)$ s'écrit d'une seule façon $x (1, 0, 0) + (0, y, z)$ — et cette écriture, on la lisait déjà.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.