Symétriques et antisymétriques

Ce sont deux sous-espaces. La matrice nulle vérifie les deux relations, et la transposition étant linéaire, ${}^t(\lambda M+\mu N)=\lambda {}^{t}M+\mu {}^{t}N$ : la stabilité par combinaison linéaire est immédiate dans les deux cas.

L'intersection est nulle. Si $M\in \mathcal{S}\cap \mathcal{A}$, alors ${}^{t}M=M$ et ${}^{t}M=-M$, donc $M=-M$, puis $2M=0$ et $M=0$. La somme est donc directe.

La somme vaut tout. C'est le point délicat : il faut produire la décomposition. Pour $M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, posons $$S=\frac{M+{}^{t}M}{2},A=\frac{M-{}^{t}M}{2}.$$ Alors $S+A=M$. De plus ${}^{t}S=\frac{{}^{t}M+M}{2}=S$, donc $S\in \mathcal{S}$, et ${}^{t}A=\frac{{}^{t}M-M}{2}=-A$, donc $A\in \mathcal{A}$. Tout $M$ est donc somme d'un élément de $\mathcal{S}$ et d'un élément de $\mathcal{A}$ : ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})=\mathcal{S}+\mathcal{A}$, et cette somme est directe.

Un contrôle. Pour $M=\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ 3& 2\end{array}\right)$ : $S=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 4& 2\end{array}\right)$, $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$, et $S+A=M$.

Le point à retenir. La demi-somme et la demi-différence d'un objet et de son transformé : c'est le même procédé qui décompose une fonction en partie paire et partie impaire, et il resservira au chapitre 3 pour les symétries.