Trace d'une matrice triangulaire et de son carré

La trace de $A$. C'est la somme des coefficients diagonaux : $$\mathrm{Tr}(A)=2+(-1)+4=5.$$

Les coefficients diagonaux de $A^2$. Le coefficient d'indice $(i,i)$ de $A^2$ vaut ${\sum }_{k=1}^3{a}_{i,k}{a}_{k,i}$. Comme $A$ est triangulaire supérieure, $a_{k,i}=0$ dès que $k>i$, et $a_{i,k}=0$ dès que $k<i$ : il ne reste que le terme $k=i$. Donc $$(A^2{)}_{i,i}=a_{i,i}^2.$$ Ici : $2^2=4$, $(-1{)}^2=1$, $4^2=16$.

Le contrôle par le calcul. En effectuant le produit, $$A^2=\left(\begin{array}{ccc}4& 10-5& -2+15-4\\ 0& 1& -3+12\\ 0& 0& 16\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}4& 5& 9\\ 0& 1& 9\\ 0& 0& 16\end{array}\right),$$ dont la diagonale est bien $(4,1,16)$ — et $A^2$ est encore triangulaire supérieure.

La trace du carré. $$\mathrm{Tr}(A^2)=4+1+16=21.$$

Une remarque utile. $\mathrm{Tr}(A^2)=21$ alors que $\mathrm{Tr}(A{)}^2=25$ : la trace du carré n'est pas le carré de la trace. La trace est linéaire, elle n'est pas multiplicative.