Trace et transposée

Exercice · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 1 — Compléments d'algèbre linéaire · Trace d'une matrice

Énoncé

Soit $A \in M_{n} (R)$ . Montrer que $Tr (^{t} A A) = \sum_{i, j} a_{i, j}^{2}$ . En déduire que $Tr (^{t} A A) = 0$ si et seulement si $A = 0$ .

Corrigé

Le calcul. Le coefficient d'indice $(i, i)$ de $^{t} A A$ vaut

$(^{t} A A)_{i, i} = k = 1 \sum n (^{t} A)_{i, k} a_{k, i} = k = 1 \sum n a_{k, i} a_{k, i} = k = 1 \sum n a_{k, i}^{2} .$

En sommant sur $i$ : $Tr (^{t} A A) = \sum_{i} \sum_{k} a_{k, i}^{2}$ , c'est-à-dire la somme des carrés de tous les coefficients de $A$ .

La conséquence. Une somme de carrés de réels est nulle si et seulement si chaque terme l'est. Donc $Tr (^{t} A A) = 0$ équivaut à $a_{i, j} = 0$ pour tous $i, j$ , c'est-à-dire $A = 0$ .

Où cela resservira. Cette quantité est le carré d'une norme sur les matrices ; on la retrouvera au chapitre 4, quand le produit scalaire fera son apparition.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.