Triangulaires supérieures et strictement inférieures

Ce qu'on montre. $F$ et $G$ sont des sous-espaces, leur intersection est nulle, et la somme des dimensions vaut $4$.

Deux sous-espaces. $F=\left\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& d\end{array}\right)|a,b,d\in \mathbb{R}\right\}$ est l'ensemble des matrices dont le coefficient d'indice $(2,1)$ est nul : c'est le noyau de la forme linéaire $M\mapsto m_{2,1}$, donc un sous-espace vectoriel. La famille $$E_{1,1}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right),E_{1,2}=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right),E_{2,2}=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$ en est une base : elle est génératrice par la description ci-dessus, et libre car une combinaison nulle impose $a=b=d=0$ coefficient par coefficient. Donc $\dim F=3$. De même $G=\mathrm{Vect}\left(E_{2,1}\right)$ est un sous-espace de dimension $1$.

Somme directe. Soit $M\in F\cap G$. Étant dans $G$, ses coefficients $(1,1)$, $(1,2)$ et $(2,2)$ sont nuls ; étant dans $F$, son coefficient $(2,1)$ est nul. Les quatre coefficients sont nuls, donc $M=0$ : la somme est directe.

Elle vaut tout. $\dim (F\oplus G)=3+1=4=\dim {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, donc $F\oplus G={\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$.

La décomposition. L'unique écriture est obtenue en séparant les coefficients : $$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 4\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 3& 0\end{array}\right),$$ le premier terme dans $F$, le second dans $G$. La concaténation $(E_{1,1},E_{1,2},E_{2,2},E_{2,1})$ est une base adaptée à la décomposition.