Trois couples, une seule question

Chaque cas se règle par un invariant : une quantité que deux matrices semblables partagent forcément.

(a) La trace. $1+4=5$ d'un côté, $2+4=6$ de l'autre. Or la trace est invariante par similitude. Les deux traces diffèrent : les matrices ne sont pas semblables.

(b) L'homothétie. Ici les deux traces valent $2$ : la trace ne tranche pas. Mais pour toute matrice inversible $P$, $P^{-1}{I}_{2}P=P^{-1}P=I_2$ : la seule matrice semblable à $I_2$ est $I_2$ elle-même. Comme $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)\ne I_2$, elles ne sont pas semblables.

(c) Le rang. Les deux traces valent encore $2$, et aucune n'est une homothétie. On regarde le rang : les deux lignes de $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$ sont égales, son rang vaut $1$ ; celles de $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ ne sont pas proportionnelles, son rang vaut $2$. Or si $B=P^{-1}AP$ avec $P$ inversible, alors $A$ et $B$ ont le même rang (multiplier par une matrice inversible ne le change pas). Elles ne sont pas semblables.

Le point à retenir. Un invariant ne sert jamais à prouver que deux matrices sont semblables — seulement à prouver qu'elles ne le sont pas. Quand la trace échoue, on essaie le rang ; quand les deux échouent, il faut un argument de structure, comme celui de l'homothétie.