Trois droites du plan

Compléments d'algèbre linéaire · Sommes directes · niveau 2

Énoncé

Dans $R^{2}$ , soient $D_{1} = Vect ((1, 0))$ , $D_{2} = Vect ((0, 1))$ et $D_{3} = Vect ((1, 2))$ . Vérifier que ces droites sont deux à deux d'intersection nulle, puis montrer que $D_{1} + D_{2} + D_{3}$ n'est pas directe.

Corrigé

Deux à deux. Deux droites distinctes du plan se coupent en ${0}$ : ici $(1, 0)$ , $(0, 1)$ et $(1, 2)$ ne sont deux à deux pas proportionnels, donc les trois intersections deux à deux sont nulles.

La somme n'est pourtant pas directe. On a

$(1, 2) = 1 \cdot (1, 0) + 2 \cdot (0, 1),$

d'où deux écritures du vecteur $(1, 2)$ dans $D_{1} + D_{2} + D_{3}$ :

$(1, 2) = \in D_{1} (1, 0) + \in D_{2} (0, 2) + \in D_{3} (0, 0) et (1, 2) = (0, 0) + (0, 0) + (1, 2) .$

L'unicité est en défaut.

Le contrôle des dimensions le prévoyait : $1 + 1 + 1 = 3 > 2 = dim R^{2}$ . Trois droites du plan ne peuvent jamais être en somme directe.

Énoncé

Corrigé

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