Un endomorphisme vu depuis une autre base

C'est une base. Si $a(2,3)+b(1,-1)=(0,0)$, alors $2a+b=0$ et $3a-b=0$ ; en additionnant, $5a=0$, donc $a=b=0$. Famille libre de $2$ vecteurs en dimension $2$ : c'est une base.

Les images des nouveaux vecteurs. On calcule directement : $$A\left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2+6\\ 6+6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\\ 12\end{array}\right)=4\left(\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\right),A\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1-2\\ 3-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)=-\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right).$$ Chaque vecteur de ${\mathcal{B}}^{\prime }$ est donc envoyé sur un multiple de lui-même.

La matrice. La $j$-ème colonne de ${\mathrm{Mat}}_{{\mathcal{B}}^{\prime }}(f)$ est la colonne des coordonnées de $f(e_j^{\prime })$ dans ${\mathcal{B}}^{\prime }$. Ici $f(e_1^{\prime })=4e_1^{\prime }$ et $f(e_2^{\prime })=-e_2^{\prime }$, d'où $${\mathrm{Mat}}_{{\mathcal{B}}^{\prime }}(f)=\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ 0& -1\end{array}\right).$$

Vérification sans inverser $P$. Avec $P$ la matrice de passage et $D$ la matrice trouvée, $AP=\left(\begin{array}{cc}8& -1\\ 12& 1\end{array}\right)=PD$ ; multiplier à gauche par $P^{-1}$ donne $P^{-1}AP=D$.

Le point à retenir. On ne calcule presque jamais $P^{-1}AP$ à la main : on lit les colonnes de la nouvelle matrice sur les images des nouveaux vecteurs, et l'on contrôle par $AP=PD$.