Un plan et une droite de ${\mathbb{R}}^3$

La dimension de $F$. $F$ est le noyau de la forme linéaire non nulle $\phi (x,y,z)=x+y+z$. Son image est $\mathbb{R}$ (dimension $1$), donc le théorème du rang donne $$\dim F=3-1=2.$$ On peut aussi lire une base : $z=-x-y$ donne $(x,y,-x-y)=x(1,0,-1)+y(0,1,-1)$, donc $F=\mathrm{Vect}((1,0,-1),(0,1,-1))$, deux vecteurs non colinéaires.

L'intersection. Un vecteur de $G$ s'écrit $\lambda (1,0,0)$. Il appartient à $F$ si et seulement si $\lambda +0+0=0$, c'est-à-dire $\lambda =0$. Donc $$F\cap G=\{(0,0,0)\}$$ et la somme $F+G$ est directe.

La somme vaut ${\mathbb{R}}^3$. $\dim (F\oplus G)=\dim F+\dim G=2+1=3=\dim {\mathbb{R}}^3$. Un sous-espace de ${\mathbb{R}}^3$ de dimension $3$ est ${\mathbb{R}}^3$ tout entier, donc $$F\oplus G={\mathbb{R}}^3.$$

Contrôle sur un vecteur. Décomposons $u=(1,2,3)$. On cherche $\lambda$ tel que $u-\lambda (1,0,0)\in F$, c'est-à-dire $(1-\lambda )+2+3=0$, soit $\lambda =6$. Alors $u=(-5,2,3)+6(1,0,0)$, et $-5+2+3=0$ confirme que le premier terme est bien dans $F$.