Une base adaptée de l'espace de dimension quatre

Une base de $G$. Les deux équations donnent $y=-x$ et $t=-z$, donc $(x,y,z,t)\in G$ s'écrit $x(1,-1,0,0)+z(0,0,1,-1)$. Ces deux vecteurs engendrent $G$ et sont non proportionnels (le premier a ses deux dernières coordonnées nulles, le second ses deux premières), donc $G=\mathrm{Vect}((1,-1,0,0),(0,0,1,-1))$ et $\dim G=2$.

L'intersection est nulle. Soit $w=a(1,1,0,0)+b(0,0,1,1)$ un élément de $F$, c'est-à-dire $w=(a,a,b,b)$. Il appartient à $G$ si $a+a=0$ et $b+b=0$, c'est-à-dire $a=b=0$. Donc $F\cap G=\{0\}$ : par le critère de l'intersection, la somme est directe.

Elle vaut ${\mathbb{R}}^4$. $\dim F=2$ (les deux générateurs sont non proportionnels) et $\dim G=2$, donc $\dim (F\oplus G)=2+2=4$. Un sous-espace de ${\mathbb{R}}^4$ de dimension $4$ est ${\mathbb{R}}^4$ tout entier.

La base adaptée est la concaténation des deux bases : $$((1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,-1,0,0),(0,0,1,-1)).$$ On peut l'écrire en clair : $$(x,y,z,t)=\frac{x+y}{2}(1,1,0,0)+\frac{z+t}{2}(0,0,1,1)+\frac{x-y}{2}(1,-1,0,0)+\frac{z-t}{2}(0,0,1,-1),$$ dont la première coordonnée vaut bien $\frac{x+y}{2}+\frac{x-y}{2}=x$.

Le point à retenir. Deux sous-espaces de dimensions complémentaires dont l'intersection est nulle remplissent l'espace : on n'a jamais eu besoin de vérifier que la somme était ${\mathbb{R}}^4$, le compte des dimensions l'a donné.