mathématiques approfondies (ECG 2e année) · Chapitre 1 · Exercice d'entraînement

Une décomposition qui rend la matrice diagonale par blocs

Compléments d'algèbre linéaire · Sous-espaces stables et recollement · ★★ niveau 2

Énoncé

Soit $E$ de dimension finie, $E=F\oplus G$, et $f$ un endomorphisme de $E$ vérifiant $f(F)\subset F$ et $f(G)\subset G$. Montrer que dans toute base adaptée à la décomposition, la matrice de $f$ est diagonale par blocs. Illustrer avec $E={\mathbb{R}}^3$, $F=\mathrm{Vect}((1,0,0),(0,1,0))$, $G=\mathrm{Vect}((0,0,1))$ et $f(x,y,z)=(x+2y,3x+4y,5z)$.

Un exercice à chercher : son corrigé n'est pas publié. Sur Adloun, le tuteur guide par questions, sans donner la réponse.