Une décomposition qui rend la matrice diagonale par blocs

Ce qu'on montre. Que la stabilité des deux morceaux se lit comme des zéros aux deux coins de la matrice.

Le cadre. Soit ${\mathcal{B}}_F=(u_1,\dots ,u_p)$ une base de $F$ et ${\mathcal{B}}_G=(v_1,\dots ,v_q)$ une base de $G$. Comme la somme est directe, la concaténation $\mathcal{B}=(u_1,\dots ,u_p,v_1,\dots ,v_q)$ est une base de $E$ : c'est une base adaptée.

Les colonnes. Pour $j⩽p$, $f(u_j)$ appartient à $F$ par hypothèse, donc s'écrit comme combinaison des seuls $u_i$ : dans $\mathcal{B}$, ses $q$ dernières coordonnées sont nulles. De même, pour tout $j$, $f(v_j)\in G$ s'écrit comme combinaison des seuls $v_i$ : ses $p$ premières coordonnées sont nulles. En rangeant ces colonnes, $${\mathrm{Mat}}_{\mathcal{B}}(f)=\left(\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& B\end{array}\right),$$ où $A\in {\mathcal{M}}_p(\mathbb{R})$ est la matrice de la restriction de $f$ à $F$, et $B\in {\mathcal{M}}_q(\mathbb{R})$ celle de sa restriction à $G$.

L'illustration. Ici $f(x,y,0)=(x+2y,3x+4y,0)\in F$ et $f(0,0,z)=(0,0,5z)\in G$ : les deux sous-espaces sont bien stables. La base canonique est adaptée à ${\mathbb{R}}^3=F\oplus G$, et $$\mathrm{Mat}(f)=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 3& 4& 0\\ 0& 0& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& B\end{array}\right),A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}5\end{array}\right).$$

Le point délicat. La forme par blocs ne vient pas d'un calcul mais de la seule stabilité : c'est l'hypothèse $f(F)\subset F$ qui interdit à la colonne de $f(u_j)$ d'avoir une composante sur ${\mathcal{B}}_G$.