Une matrice de passage

La matrice de passage. Ses colonnes sont les vecteurs de ${\mathcal{B}}^{\prime }$ écrits dans $\mathcal{B}$, c'est-à-dire tels quels :

$$P=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right).$$

Pour l'inverser, on résout $PX=Y$ : le système $2x_1+x_2=y_1$, $x_1+x_2=y_2$ donne, en soustrayant, $x_1=y_1-y_2$, puis $x_2=2y_2-y_1$. Donc

$$P^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right),$$

ce qu'on vérifie d'un produit : $P{P}^{-1}=I_2$.

Les coordonnées de $u$. La formule est $X_{\mathcal{B}}=P{X}_{{\mathcal{B}}^{\prime }}$, donc $X_{{\mathcal{B}}^{\prime }}=P^{-1}{X}_{\mathcal{B}}$ :

$$X_{{\mathcal{B}}^{\prime }}=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right).$$

Vérification. $2(2,1)+1(1,1)=(5,3)$. C'est bien $u$.