Une matrice de passage en dimension trois

La matrice de passage. Ses colonnes sont les vecteurs de ${\mathcal{B}}^{\prime }$ écrits dans $\mathcal{B}$ : $$P=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right).$$

Son inverse. On résout $PX=Y$, c'est-à-dire $$x_1=y_1,x_1+x_2=y_2,x_2+x_3=y_3.$$ La première ligne donne $x_1=y_1$, la deuxième $x_2=y_2-y_1$, la troisième $x_3=y_3-x_2=y_3-y_2+y_1$. Le système a donc une solution unique pour tout second membre, ce qui prouve que $P$ est inversible et que $$P^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -1& 1& 0\\ 1& -1& 1\end{array}\right).$$

${\mathcal{B}}^{\prime }$ est une base. $P$ étant inversible, ses colonnes forment une famille libre de ${\mathbb{R}}^3$ ; trois vecteurs libres dans un espace de dimension $3$ forment une base.

Les coordonnées de $u$. La formule du cours est $X_{\mathcal{B}}=P{X}_{{\mathcal{B}}^{\prime }}$, donc $X_{{\mathcal{B}}^{\prime }}=P^{-1}{X}_{\mathcal{B}}$ : $$X_{{\mathcal{B}}^{\prime }}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -1& 1& 0\\ 1& -1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 2\end{array}\right).$$

Contrôle. $1\cdot (1,1,0)+1\cdot (0,1,1)+2\cdot (0,0,1)=(1,1+1,1+2)=(1,2,3)=u$. C'est le sens de la formule qui surprend : $P$ transporte les coordonnées nouvelles vers les anciennes, donc c'est $P^{-1}$ qui fournit les nouvelles.