Une trace qui ne bouge pas

On vérifie d'abord que $P$ est son propre inverse à un facteur près :

$$P^2=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=2I_2,\text{d’ouˋ}{P}^{-1}=\frac{1}{2}P=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right).$$

On calcule d'abord $AP=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 1& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}6& 2\\ 4& -2\end{array}\right)$, puis

$$B=P^{-1}(AP)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}6& 2\\ 4& -2\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}10& 0\\ 2& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 1& 2\end{array}\right).$$

$\mathrm{Tr}(A)=4+3=7$ et $\mathrm{Tr}(B)=5+2=7$. Les deux traces coïncident, comme l'annonce le théorème.

Remarque. Les coefficients, eux, n'ont rien de commun. C'est bien pour cela que la trace est utile : elle survit au changement de repère.