Deux gradients colinéaires

Les deux gradients. Avec $g(x,y)=3x+4y$ : $$\nabla f(3,4)=(2\times 3,2\times 4)=(6,8),\nabla g(x,y)=(3,4).$$

La colinéarité. On lit immédiatement $(6,8)=2(3,4)$ : les deux vecteurs sont colinéaires, et le multiplicateur vaut $$\lambda =2.$$ La condition nécessaire du premier ordre sous contrainte, $\nabla f=\lambda \nabla g$, est donc bien vérifiée.

Le contrôle de la contrainte. Le point appartient à la droite : $3\times 3+4\times 4=9+16=25$.

La lecture géométrique. $\nabla g=(3,4)$ est orthogonal à la droite $3x+4y=25$. Dire que $\nabla f$ lui est colinéaire, c'est dire que la ligne de niveau de $f$ passant par $(3,4)$ — ici le cercle de rayon $5$ — est tangente à la droite en ce point. Tant que ce n'est pas le cas, on peut se déplacer le long de la contrainte en faisant décroître $f$ : l'optimum n'est pas atteint.