Deux points critiques

Recherche d'extrema · Points critiques et nature · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $f (x, y) = x^{3} - 12 x + y^{2}$ . Déterminer les points critiques et leur nature.

Points critiques. $\partial_{1} f = 3 x^{2} - 12$ et $\partial_{2} f = 2 y$ : $y = 0$ et $x = \pm 2$ . Deux points : $(2, 0)$ et $(- 2, 0)$ .

Hessienne. $(6 x 0 02)$ , de valeurs propres $6 x$ et $2$ .

En $(2, 0)$ : $12$ et $2$ , toutes deux positives — minimum local, de valeur $8 - 24 = - 16$ .

En $(- 2, 0)$ : $- 12$ et $2$ , signes opposés — point selle, de valeur $- 8 + 24 = 16$ .

Rien de global. $f (x, 0) = x^{3} - 12 x \to - \infty$ quand $x \to - \infty$ : $f$ n'est pas minorée sur $R^{2}$ .