La matrice hessienne

Les dérivées premières. $${\partial }_{1}f=3x^2+y^2,{\partial }_{2}f=2xy-1.$$

Les dérivées secondes. En dérivant à nouveau : $${\partial }_{1,1}^{2}f=6x,{\partial }_{2,2}^{2}f=2x,{\partial }_{1,2}^{2}f=2y\text{ et }{\partial }_{2,1}^{2}f=2y.$$

La hessienne. $${\nabla }^{2}f(x,y)=\left(\begin{array}{cc}6x& 2y\\ 2y& 2x\end{array}\right),{\nabla }^{2}f(1,1)=\left(\begin{array}{cc}6& 2\\ 2& 2\end{array}\right).$$

La symétrie. Les deux dérivées croisées coïncident, comme le théorème de Schwarz le garantissait, $f$ étant polynomiale donc de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$.

Pourquoi cela compte. C'est cette symétrie qui autorise, par le théorème spectral, à parler des valeurs propres réelles de la hessienne — et donc à appliquer le critère d'ordre $2$. Sans Schwarz, l'énoncé même du critère serait sans objet.