Le multiplicateur est un prix

Le point optimal. Avec $g(x,y)=x+y$, la condition $\nabla f=\lambda \nabla g$ s'écrit $2x=\lambda$ et $2y=\lambda$, donc $x=y=\frac{\lambda }{2}$. La contrainte donne $\lambda =c$, d'où le point $\left(\frac{c}{2},\frac{c}{2}\right)$ et $$\lambda (c)=c.$$

La valeur optimale. En reportant : $$V(c)={\left(\frac{c}{2}\right)}^2+{\left(\frac{c}{2}\right)}^2=\frac{c^2}{2}.$$ C'est bien un minimum : sur la contrainte, $f(x,c-x)=x^2+(c-x{)}^2=2{\left(x-\frac{c}{2}\right)}^2+\frac{c^2}{2}⩾\frac{c^2}{2}$, avec égalité au seul point trouvé.

La comparaison. $$V^{\prime }(c)=c=\lambda (c).$$ Le multiplicateur est exactement la dérivée de la valeur optimale par rapport au second membre de la contrainte.

Ce que cela veut dire. Si l'on relâche la contrainte d'une unité — passer de $c$ à $c+1$ —, la valeur optimale augmente d'environ $\lambda$. En économie, $\lambda$ s'interprète donc comme le prix implicite de la ressource contrainte : c'est ce qu'on serait prêt à payer pour disposer d'une unité de plus.

Le contrôle. Pour $c=4$, on retrouve le point $(2,2)$, la valeur $8$ et $\lambda =4$. Et $V(5)-V(4)=12,5-8=4,5$, proche de $\lambda (4)=4$ : l'approximation au premier ordre est bien celle attendue.