Le point le plus proche de trois villes

La fonction à minimiser. $$f(x,y)=(x^2+y^2)+((x-4{)}^2+y^2)+((x-2{)}^2+(y-6{)}^2).$$ Elle est polynomiale, donc de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$, qui est un ouvert convexe.

Le point critique. $${\partial }_{1}f=2x+2(x-4)+2(x-2)=6x-12,{\partial }_{2}f=2y+2y+2(y-6)=6y-12.$$ Le gradient s'annule en $x=2$ et $y=2$ : l'unique point critique est $G=(2,2)$.

C'est un minimum global. La hessienne vaut $\left(\begin{array}{cc}6& 0\\ 0& 6\end{array}\right)$ en tout point du plan. Son spectre $\{6\}$ est contenu dans ${\mathbb{R}}_{+}$ pour tout $(x,y)$ de l'ouvert convexe ${\mathbb{R}}^2$ : la condition suffisante d'extremum global s'applique, et $f$ admet un minimum global en $G$.

La valeur. $$f(2,2)=(4+4)+(4+4)+(0+16)=8+8+16=32.$$

Ce que le point trouvé est. $G=(2,2)$ est le point moyen des trois villes : ses coordonnées sont les moyennes des abscisses $\frac{0+4+2}{3}=2$ et des ordonnées $\frac{0+0+6}{3}=2$. Ce n'est pas une coïncidence : la même séparation des variables vaut pour $n$ points quelconques. On retrouvera ce point moyen au chapitre 13, comme centre de gravité d'un nuage.