Le rapport optimal ne dépend pas du budget

Les gradients. $\nabla f={}^t\left(\frac{1}{2}\sqrt{L/K},\frac{1}{2}\sqrt{K/L}\right)$ et, pour $g(K,L)=4K+9L$, $\nabla g={}^t(4,9)$.

Condition du premier ordre. Il existe un multiplicateur $\lambda$ tel que $\nabla f=\lambda \nabla g$, soit $\frac{1}{2}\sqrt{L/K}=4\lambda$ et $\frac{1}{2}\sqrt{K/L}=9\lambda$. Les membres de gauche sont strictement positifs, donc $\lambda \ne 0$ et l'on divise membre à membre : $\frac{L}{K}=\frac{4}{9}$, soit $9L=4K$.

Avec la contrainte. $4K+9L=72$ et $9L=4K$ donnent $8K=72$, donc $K=9$, $L=4$ et $f(9,4)=\sqrt{36}=6$.

Vérification directe. Sur la contrainte, $L=\frac{72-4K}{9}$ avec $0<K<18$, et

$$f(K,L{)}^2=\frac{K(72-4K)}{9}=\frac{4K(18-K)}{9}.$$

Le trinôme $K(18-K)$ atteint son maximum au milieu de ses racines $0$ et $18$, donc en $K=9$, où il vaut $81$ : $f^2=36$ et $f=6$. Le maximum est atteint, et il est unique.

L'effet du budget. Pour un budget $B$ quelconque, la même condition donne toujours $9L=4K$, d'où $8K=B$ : $K=\frac{B}{8}$ et $L=\frac{B}{18}$. Le rapport $\frac{K}{L}=\frac{9}{4}$ ne dépend pas de $B$, et les deux dépenses $4K$ et $9L$ valent chacune $\frac{B}{2}$.

Le point à retenir. Sous une contrainte linéaire, la condition du premier ordre fixe une direction ; c'est la contrainte qui fixe ensuite l'échelle. Changer le budget déplace le point le long de cette direction, il ne la fait pas tourner.