Lire la nature sur deux valeurs propres

Les valeurs propres. La matrice est symétrique, donc diagonalisable à valeurs propres réelles. On vérifie directement : $$\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=3\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)=1\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right).$$ Deux vecteurs propres non colinéaires suffisent à conclure en dimension $2$ : le spectre est $\{1,3\}$.

La conclusion. Ce spectre est contenu dans ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ : la fonction admet un minimum local en $A$.

Deux contrôles utiles. La somme des valeurs propres vaut $1+3=4$, ce qui est bien la somme des coefficients diagonaux de la hessienne. Et les deux vecteurs propres $(1,1)$ et $(1,-1)$ sont orthogonaux, comme le théorème spectral le promet pour une matrice symétrique.

La limite du résultat. On ne peut affirmer que du local. Pour conclure au minimum global, il faudrait que le spectre de la hessienne reste positif en tout point d'un ouvert convexe — hypothèse dont l'énoncé ne dit rien.