Maximum et minimum sur un carré

Existence. $f$ est continue et $K$ est fermé borné : les deux extrema existent. On sait donc qu'on les cherche.

À l'intérieur. $\nabla f={}^t(2x,-2y)$ ne s'annule qu'en $(0,0)$, où $f=0$. La hessienne y vaut $\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& -2\end{array}\right)$, de valeurs propres $2$ et $-2$ : signes opposés, donc point selle. L'intérieur ne fournit aucun extremum.

Sur le bord. Quatre segments, sur chacun desquels $f$ ne dépend que d'une variable :

• $x=\pm 1$ et $y\in [-1,1]$ : $f=1-y^2$, qui décrit $[0,1]$ et vaut $1$ en $y=0$ ;
• $y=\pm 1$ et $x\in [-1,1]$ : $f=x^2-1$, qui décrit $[-1,0]$ et vaut $-1$ en $x=0$.

Conclusion. Maximum $1$, atteint en $(1,0)$ et $(-1,0)$ ; minimum $-1$, atteint en $(0,1)$ et $(0,-1)$.

Contrôle direct. Sur $K$, $x^2⩽1$ et $y^2⩽1$, donc $-1⩽-y^2⩽x^2-y^2⩽x^2⩽1$, les deux bornes étant atteintes aux points annoncés.

Le point à retenir. Sur un fermé borné, les extrema peuvent n'être qu'au bord : ici l'unique point critique intérieur est un col, et s'arrêter à lui aurait rendu une réponse vide.