Quand le critère est muet

Exercice · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 10 — Recherche d'extrema · Points critiques et nature

Énoncé

Soit $f (x, y) = x^{2} + y^{4}$ . Montrer que l'origine est un point critique où le critère d'ordre $2$ ne conclut pas, et déterminer sa nature.

Corrigé

Point critique. $\partial_{1} f = 2 x$ , $\partial_{2} f = 4 y^{3}$ : seul $(0, 0)$ annule le gradient.

Hessienne. $(20 0 12 y^{2})$ , qui en $(0, 0)$ vaut $(2000)$ : valeurs propres $2$ et $0$ . Le spectre n'est ni dans $R_{+}^{*}$ , ni dans $R_{-}^{*}$ , et ne contient pas deux signes opposés : le critère est muet.

Étude directe. $f (x, y) = x^{2} + y^{4} ⩾ 0$ , avec égalité seulement en $(0, 0)$ : c'est un minimum global.

La leçon. « Le critère ne conclut pas » n'est pas « il n'y a pas d'extremum ». Ici l'extremum existe et il est global.

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