Quand le critère est muet

Point critique. ${\partial }_{1}f=2x$, ${\partial }_{2}f=4y^3$ : seul $(0,0)$ annule le gradient.

Hessienne. $\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 12y^2\end{array}\right)$, qui en $(0,0)$ vaut $\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$ : valeurs propres $2$ et $0$. Le spectre n'est ni dans ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$, ni dans ${\mathbb{R}}_{-}^{\ast }$, et ne contient pas deux signes opposés : le critère est muet.

Étude directe. $f(x,y)=x^2+y^4⩾0$, avec égalité seulement en $(0,0)$ : c'est un minimum global.

La leçon. « Le critère ne conclut pas » n'est pas « il n'y a pas d'extremum ». Ici l'extremum existe et il est global.