Quatre points critiques d'un coup

Les points critiques. On annule le gradient : $${\partial }_{1}f(x,y)=3x^2-3=0,{\partial }_{2}f(x,y)=3y^2-3=0.$$ Les deux équations sont indépendantes l'une de l'autre : $x^2=1$ et $y^2=1$. On obtient quatre points critiques : $(1,1)$, $(1,-1)$, $(-1,1)$, $(-1,-1)$.

La matrice hessienne. Comme ${\partial }_{1,2}^{2}f=0$, $${\nabla }^{2}f(x,y)=\left(\begin{array}{cc}6x& 0\\ 0& 6y\end{array}\right),$$ qui est diagonale : ses valeurs propres se lisent directement, ce sont $6x$ et $6y$.

La discussion.

• En $(1,1)$ : spectre $\{6,6\}$, tout entier dans ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$, donc minimum local, de valeur $f(1,1)=-4$.
• En $(-1,-1)$ : spectre $\{-6,-6\}$, dans ${\mathbb{R}}_{-}^{\ast }$, donc maximum local, de valeur $f(-1,-1)=4$.
• En $(1,-1)$ et $(-1,1)$ : spectre $\{6,-6\}$, deux réels non nuls de signes distincts, donc points selles — pas d'extremum.

Aucun extremum global. $f(x,0)=x^3-3x$ tend vers $+\infty$ quand $x\to +\infty$ et vers $-\infty$ quand $x\to -\infty$ : $f$ n'est bornée ni d'un côté ni de l'autre. Le critère d'ordre $2$ ne regarde la hessienne qu'au point critique ; il ne peut donc rien dire de global.