Répartir une production entre deux ateliers

Exercice d'entraînement · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 10 — Recherche d'extrema · Extrema sous contrainte linéaire

Énoncé

Deux ateliers produisent respectivement $x$ et $y$ unités, pour un coût total $C (x, y) = \frac{x ^{2}}{2} + y^{2}$ . On doit produire $12$ unités en tout. Trouver la répartition qui minimise le coût, par substitution puis par les multiplicateurs.

Corrigé

Par substitution. La contrainte $x + y = 12$ donne $y = 12 - x$ , et le coût devient une fonction d'une seule variable : $φ (x) = \frac{x ^{2}}{2} + (12 - x)^{2} .$ Sa dérivée vaut $φ^{'} (x) = x - 2 (12 - x) = 3 x - 24$ , qui s'annule en $x = 8$ . Comme $φ^{''} (x) = 3 > 0$ en tout point, $φ$ est convexe et $x = 8$ est un minimum global. On en tire $y = 4$ et $C (8, 4) = \frac{64}{2} + 16 = 32 + 16 = 48.$

Par les multiplicateurs. Avec $g (x, y) = x + y$ , la condition $\nabla C = λ \nabla g$ s'écrit $x = λ, 2 y = λ,$ donc $x = 2 y$ . En reportant dans la contrainte : $3 y = 12$ , d'où $y = 4$ et $x = 8$ , avec $λ = 8$ . Les deux méthodes s'accordent.

Ce que $λ$ signifie. Les deux coûts marginaux $\partial_{1} C = x$ et $\partial_{2} C = 2 y$ valent tous deux $8$ à l'optimum : c'est la valeur commune $λ$ . Tant qu'un atelier produit à un coût marginal plus faible que l'autre, on a intérêt à lui transférer une unité — l'équilibre est atteint quand les deux coûts marginaux s'égalisent.

Le contrôle de bon sens. Le premier atelier, deux fois moins cher à la marge, prend deux fois plus de production. Une répartition égale $(6, 6)$ coûterait $18 + 36 = 54 > 48$ : le partage trouvé est bien meilleur.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.