Un extremum sous contrainte

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Minimiser $f (x, y) = x^{2} + 4 y^{2}$ sous la contrainte $x + 2 y = 6$ .

Multiplicateur. $\nabla f =^{t} (2 x, 8 y)$ et $\nabla g =^{t} (1, 2)$ . La condition $\nabla f = λ \nabla g$ donne

$2 x = λ, 8 y = 2 λ .$

De la première, $λ = 2 x$ ; en reportant, $8 y = 4 x$ , soit $x = 2 y$ .

Avec la contrainte. $2 y + 2 y = 6$ , donc $y = 1, 5$ et $x = 3$ .

Valeur. $f (3; 1, 5) = 9 + 9 = 18$ .

Vérification directe. Sur la contrainte, $x = 6 - 2 y$ et

$f = (6 - 2 y)^{2} + 4 y^{2} = 8 y^{2} - 24 y + 36 = 8 (y - \frac{3}{2})^{2} + 18 ⩾ 18.$

C'est bien le minimum, atteint pour $y = 1, 5$ .