Un gradient à calculer

Les dérivées partielles. Pour ${\partial }_{1}f$, on dérive par rapport à $x$ en traitant $y$ comme une constante ; le terme $-y^3$ disparaît : $${\partial }_{1}f(x,y)=6xy+2.$$ Pour ${\partial }_{2}f$, on dérive par rapport à $y$ à $x$ constant ; le terme $2x$ disparaît : $${\partial }_{2}f(x,y)=3x^2-3y^2.$$

Le gradient. $$\nabla f(x,y)=(6xy+2,3x^2-3y^2).$$

Au point demandé. $$\nabla f(1,1)=(6+2,3-3)=(8,0).$$

Ce qu'on peut déjà en dire. Le gradient n'est pas nul en $(1,1)$ : ce point n'est donc pas un point critique, et par la condition nécessaire d'ordre $1$, $f$ n'y admet aucun extremum local. Le gradient pointe dans la direction de plus forte croissance : ici, purement horizontale.