Un gradient à calculer

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 10 — Recherche d'extrema · Gradient et points critiques

Énoncé

Soit $f (x, y) = 3 x^{2} y - y^{3} + 2 x$ . Calculer $\nabla f (x, y)$ , puis $\nabla f (1, 1)$ .

Corrigé

Les dérivées partielles. Pour $\partial_{1} f$ , on dérive par rapport à $x$ en traitant $y$ comme une constante ; le terme $- y^{3}$ disparaît : $\partial_{1} f (x, y) = 6 x y + 2.$ Pour $\partial_{2} f$ , on dérive par rapport à $y$ à $x$ constant ; le terme $2 x$ disparaît : $\partial_{2} f (x, y) = 3 x^{2} - 3 y^{2} .$

Le gradient. $\nabla f (x, y) = (6 x y + 2, 3 x^{2} - 3 y^{2}) .$

Au point demandé. $\nabla f (1, 1) = (6 + 2, 3 - 3) = (8, 0) .$

Ce qu'on peut déjà en dire. Le gradient n'est pas nul en $(1, 1)$ : ce point n'est donc pas un point critique, et par la condition nécessaire d'ordre $1$ , $f$ n'y admet aucun extremum local. Le gradient pointe dans la direction de plus forte croissance : ici, purement horizontale.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.