Un maximum global

Exercice · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 10 — Recherche d'extrema · Extrema globaux

Énoncé

Soit $f (x, y) = - 2 x^{2} - 3 y^{2} + 4 x + 6 y + 1$ . Montrer que $f$ admet un maximum global et le déterminer.

Point critique. $\partial_{1} f = - 4 x + 4$ et $\partial_{2} f = - 6 y + 6$ : le point est $(1, 1)$ , où $f$ vaut $- 2 - 3 + 4 + 6 + 1 = 6$ .

Hessienne. $(- 4 0 0 - 6)$ , constante, de valeurs propres $- 4$ et $- 6$ : négatives en tout point de $R^{2}$ , qui est ouvert et convexe.

Conclusion. Par le théorème d'extremum global, $f$ admet un maximum global en $(1, 1)$ , valant $6$ .

Contrôle. $f (x, y) = - 2 (x - 1)^{2} - 3 (y - 1)^{2} + 6 ⩽ 6$ . La forme canonique le confirme.

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.