Un maximum sur un disque, sans dériver

L'existence. $f$ est continue sur $D$, qui est fermé et borné : $f$ y admet un maximum global et un minimum global. La question a donc bien un sens.

Aucun point critique à l'intérieur. $\nabla f(x,y)=(1,2)$ ne s'annule jamais. La condition nécessaire d'ordre $1$ montre donc qu'aucun extremum n'est atteint dans l'ouvert $\{x^2+y^2<5\}$ : les deux extrema sont sur le bord.

L'inégalité de Cauchy-Schwarz. En voyant $f(x,y)$ comme un produit scalaire, $$|f(x,y)|=|⟨(1,2),(x,y)⟩|⩽\Vert (1,2)\Vert \Vert (x,y)\Vert =\sqrt{5}\sqrt{x^2+y^2}⩽\sqrt{5}\times \sqrt{5}=5.$$ Donc $-5⩽f(x,y)⩽5$ sur tout $D$.

Les cas d'égalité. L'inégalité de Cauchy-Schwarz est une égalité exactement quand les deux vecteurs sont colinéaires ; la seconde majoration est une égalité quand $x^2+y^2=5$. Le point $(1,2)$ vérifie les deux : il est colinéaire à $(1,2)$ et de norme $\sqrt{5}$. On calcule $f(1,2)=1+4=5$, et $f(-1,-2)=-5$.

Conclusion. Le maximum vaut $5$, atteint au seul point $(1,2)$ ; le minimum vaut $-5$, atteint au seul point $(-1,-2)$.

La lecture géométrique. Les lignes de niveau de $f$ sont les droites $x+2y=c$ ; on pousse $c$ jusqu'à ce que la droite devienne tangente au cercle. Le point de tangence est celui où $(1,2)$, orthogonal à la droite, pointe vers l'extérieur du disque : c'est exactement le rayon de même direction.