Un minimum global en dimension trois

Point critique. ${\partial }_{1}f=2x-y-1$, ${\partial }_{2}f=2y-x$, ${\partial }_{3}f=2z$. La troisième donne $z=0$, la deuxième $x=2y$, la première $4y-y-1=0$ : $y=\frac{1}{3}$, $x=\frac{2}{3}$. La valeur y est $\frac{4}{9}+\frac{1}{9}-\frac{2}{9}-\frac{6}{9}=-\frac{1}{3}$.

Hessienne. $f$ est un polynôme de degré $2$ : ses dérivées secondes sont constantes et

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ -1& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$$

en tout point de ${\mathbb{R}}^3$.

Son spectre, par vecteurs propres. On n'écrit pas de polynôme caractéristique en dimension $3$ : on exhibe. $A{}^t(1,1,0)={}^t(1,1,0)$ donne la valeur propre $1$ ; $A{}^t(1,-1,0)={}^t(3,-3,0)$ donne $3$ ; $A{}^t(0,0,1)={}^t(0,0,2)$ donne $2$. Ces trois vecteurs sont indépendants, donc $A$ est diagonalisable et son spectre est exactement $\{1,2,3\}$, inclus dans ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$.

Conclusion. ${\mathbb{R}}^3$ est ouvert et convexe et le spectre est positif en tout point : $f$ admet un minimum global en $\left(\frac{2}{3},\frac{1}{3},0\right)$, de valeur $-\frac{1}{3}$.

Le point à retenir. Trois valeurs propres, trois vecteurs indépendants : on a le spectre entier sans un seul calcul de polynôme. C'est la seule méthode praticable à la main dès que la dimension dépasse $2$.