Un minimum lu à vue

L'argument. Un carré de réel est toujours positif ou nul. Donc, pour tout $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$, $$f(x,y)=(x-1{)}^2+(y+2{)}^2+7⩾0+0+7=7.$$ La fonction est minorée par $7$ sur tout le plan.

La borne est atteinte. On a $f(1,-2)=0+0+7=7$. La valeur $7$ est donc bien un minimum, et il est global.

Il est strict. L'égalité $f(x,y)=7$ impose $(x-1{)}^2=0$ et $(y+2{)}^2=0$, une somme de termes positifs n'étant nulle que si chacun l'est. D'où $x=1$ et $y=-2$ : le point est unique.

Le contrôle par le calcul. Le gradient vaut $(2(x-1),2(y+2))$, qui s'annule en $(1,-2)$ : le point trouvé est bien le point critique attendu, ce qui était nécessaire puisque ${\mathbb{R}}^2$ est ouvert.

La morale. Quand une fonction s'écrit comme une somme de carrés augmentée d'une constante, on lit le minimum global sans aucun outil. C'est la forme vers laquelle on cherche toujours à se ramener.