Un minimum sous une contrainte de somme

Le cadre. La contrainte est l'ensemble $C$ des solutions de l'équation affine $g(x,y,z)=x+y+z=6$. La condition nécessaire du premier ordre sous contrainte dit qu'en un extremum de la restriction de $f$ à $C$, il existe un réel $\lambda$ — le multiplicateur — tel que $\nabla f=\lambda \nabla g$.

Le système. Ici $\nabla f=(2x,4y,6z)$ et $\nabla g=(1,1,1)$, d'où $$2x=\lambda ,4y=\lambda ,6z=\lambda ,$$ c'est-à-dire $x=\frac{\lambda }{2}$, $y=\frac{\lambda }{4}$, $z=\frac{\lambda }{6}$.

On y ajoute la contrainte. $$\frac{\lambda }{2}+\frac{\lambda }{4}+\frac{\lambda }{6}=\lambda \frac{6+3+2}{12}=\frac{11\lambda }{12}=6⟹\lambda =\frac{72}{11}.$$ D'où l'unique point candidat $$\left(\frac{36}{11},\frac{18}{11},\frac{12}{11}\right).$$

La valeur. En factorisant par ${\lambda }^2$ : $$f=\frac{{\lambda }^2}{4}+2\frac{{\lambda }^2}{16}+3\frac{{\lambda }^2}{36}={\lambda }^2\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{12}\right)=\frac{11{\lambda }^2}{24}=\frac{11}{24}\times \frac{5184}{121}=\frac{216}{11}\approx 19,64.$$

C'est bien un minimum, et il est global sur $C$. Notons $(x_0,y_0,z_0)$ le point trouvé. Tout point de $C$ s'écrit $(x_0+h,y_0+k,z_0+l)$ avec $h+k+l=0$, et en développant : $$f=f(x_0,y_0,z_0)+(2x_{0}h+4y_{0}k+6z_{0}l)+(h^2+2k^2+3l^2).$$ Or $2x_0=4y_0=6z_0=\lambda$, donc le terme du milieu vaut $\lambda (h+k+l)=0$. Il reste $f⩾f(x_0,y_0,z_0)$, avec égalité seulement si $h=k=l=0$.

Le point à ne pas sauter. La condition du premier ordre est nécessaire, jamais suffisante : elle ne dit même pas qu'un extremum existe.