Un minimum sur toute droite, et pourtant pas un minimum

Point critique. $f(x,y)=y^2-4x^{2}y+3x^4$, donc ${\partial }_{1}f=-8xy+12x^3$ et ${\partial }_{2}f=2y-4x^2$. La seconde donne $y=2x^2$ ; en reportant, $-16x^3+12x^3=-4x^3=0$, donc $x=y=0$. L'origine est l'unique point critique, et $f(0,0)=0$.

Le critère est muet. ${\partial }_{1,1}^{2}f=-8y+36x^2$, ${\partial }_{1,2}^{2}f=-8x$, ${\partial }_{2,2}^{2}f=2$, donc ${\nabla }^{2}f(0,0)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$, de spectre $\{0,2\}$ : ni dans ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$, ni dans ${\mathbb{R}}_{-}^{\ast }$, et sans deux signes opposés. Aucune branche ne s'applique.

Sur chaque droite, un minimum. Le long de $y=tx$,

$$f(x,tx)=x^2(t^2-4tx+3x^2).$$

Le facteur tend vers $t^2>0$ quand $x\to 0$ : pour $t\ne 0$ et $x$ petit non nul, $f>0$. Pour $t=0$, $f(x,0)=3x^4>0$ ; sur la droite $x=0$, $f(0,y)=y^2>0$.

Et pourtant. Le long de la parabole $y=2x^2$, $f(x,2x^2)=(x^2)(-x^2)=-x^4<0$ pour $x\ne 0$. Aussi près de l'origine qu'on veut, $f$ prend donc des valeurs strictement négatives alors que $f(0,0)=0$ : pas de minimum local.

Le point à retenir. Un voisinage du plan ne se sonde pas avec des droites : il contient aussi des chemins courbes, et c'est sur l'un d'eux que la fonction descend.