Un point critique et sa nature

Exercice · niveau 1 (application) · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 10 — Recherche d'extrema · Points critiques et nature

Énoncé

Soit $f (x, y) = x^{2} + 2 y^{2} - 4 x + 4 y$ . Déterminer le point critique et sa nature.

Corrigé

Point critique. $\partial_{1} f = 2 x - 4$ et $\partial_{2} f = 4 y + 4$ : le point est $(2, - 1)$ , où $f$ vaut $4 + 2 - 8 - 4 = - 6$ .

Hessienne. $(2004)$ , diagonale : valeurs propres $2$ et $4$ , toutes deux positives. Minimum local.

Global. $f (x, y) = (x - 2)^{2} + 2 (y + 1)^{2} - 6$ : c'est un minimum global, de valeur $- 6$ . On pouvait aussi invoquer le théorème : la hessienne est constante et positive sur $R^{2}$ , ouvert convexe.

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