Un point critique et sa nature

Point critique. ${\partial }_{1}f=2x-4$ et ${\partial }_{2}f=4y+4$ : le point est $(2,-1)$, où $f$ vaut $4+2-8-4=-6$.

Hessienne. $\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 4\end{array}\right)$, diagonale : valeurs propres $2$ et $4$, toutes deux positives. Minimum local.

Global. $f(x,y)=(x-2{)}^2+2(y+1{)}^2-6$ : c'est un minimum global, de valeur $-6$. On pouvait aussi invoquer le théorème : la hessienne est constante et positive sur ${\mathbb{R}}^2$, ouvert convexe.