Un point critique et sa nature

Le point critique. $${\partial }_{1}f=2x-6=0,{\partial }_{2}f=2y+2=0,$$ d'où $x=3$ et $y=-1$. L'unique point critique est $(3,-1)$, où $$f(3,-1)=9+1-18-2+1=-9.$$

La hessienne. Les dérivées secondes sont ${\partial }_{1,1}^{2}f=2$, ${\partial }_{2,2}^{2}f=2$ et ${\partial }_{1,2}^{2}f=0$, donc $${\nabla }^{2}f(x,y)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)\text{en tout point.}$$ Son spectre est $\{2\}$, contenu dans ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ : le point est un minimum local.

Il est même global. La hessienne a le même spectre positif en tout point de ${\mathbb{R}}^2$, qui est un ouvert convexe : la condition suffisante d'extremum global s'applique.

Le contrôle par la forme canonique. $$f(x,y)=(x-3{)}^2+(y+1{)}^2-9⩾-9,$$ avec égalité au seul point $(3,-1)$. Les deux chemins concordent.