Un point selle

Un point selle

Recherche d'extrema · Points critiques et nature · niveau 2

Énoncé

Soit $f (x, y) = x^{2} - 3 x y + y^{2}$ . Déterminer le point critique et montrer que ce n'est pas un extremum.

Corrigé

Point critique. $\partial_{1} f = 2 x - 3 y$ et $\partial_{2} f = - 3 x + 2 y$ . Le système $2 x = 3 y$ , $3 x = 2 y$ donne $4 x = 6 y$ et $9 x = 6 y$ , donc $x = 0$ puis $y = 0$ . Unique point critique : l'origine.

Hessienne. $(2 - 3 - 3 2)$ . On vérifie que $(1, 1)$ est propre pour $- 1$ et $(1, - 1)$ pour $5$ : signes opposés, donc point selle.

Vérification directe. $f (t, t) = t^{2} - 3 t^{2} + t^{2} = - t^{2} < 0$ et $f (t, - t) = 5 t^{2} > 0$ : $f$ change de signe autour de l'origine, où elle vaut $0$ . Aucun extremum.

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