Un point selle

Le point critique. ${\partial }_{1}f=2x$ et ${\partial }_{2}f=-2y$ s'annulent simultanément au seul point $(0,0)$, où $f$ vaut $3$.

La hessienne. $${\nabla }^{2}f(x,y)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& -2\end{array}\right)\text{en tout point.}$$ Elle est diagonale : ses valeurs propres sont $2$ et $-2$.

La conclusion. Le spectre contient deux réels non nuls de signes distincts : $f$ n'admet pas d'extremum en $(0,0)$, qui est un point selle.

La vérification directe. Le long de l'axe des abscisses, $f(x,0)=x^2+3$ admet un minimum en $0$ ; le long de l'axe des ordonnées, $f(0,y)=3-y^2$ admet un maximum. En toute boule centrée en l'origine, $f$ prend donc des valeurs strictement supérieures et strictement inférieures à $3$ : ce n'est ni un minimum ni un maximum local. Le nom de « selle » vient de cette forme — on monte dans une direction, on descend dans l'autre.