Un produit d'une puissance et d'une exponentielle

Le gradient. En dérivant le produit, $${\partial }_{1}f={\mathrm{e}}^{-x}(2x-x^2-y^2),{\partial }_{2}f=2y{\mathrm{e}}^{-x}.$$ L'exponentielle ne s'annulant jamais, la seconde équation donne $y=0$, et la première devient $2x-x^2=x(2-x)=0$. Les points critiques sont donc $(0,0)$ et $(2,0)$.

La hessienne. On dérive à nouveau : $${\partial }_{1,1}^{2}f={\mathrm{e}}^{-x}(2-4x+x^2+y^2),{\partial }_{1,2}^{2}f=-2y{\mathrm{e}}^{-x},{\partial }_{2,2}^{2}f=2{\mathrm{e}}^{-x}.$$ (La symétrie ${\partial }_{1,2}^2={\partial }_{2,1}^2$ est garantie par le théorème de Schwarz, $f$ étant de classe ${\mathcal{C}}^2$.)

En $(0,0)$. ${\nabla }^{2}f(0,0)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$, de spectre $\{2\}$, contenu dans ${\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ : minimum local, de valeur $0$.

En $(2,0)$. ${\nabla }^{2}f(2,0)={\mathrm{e}}^{-2}\left(\begin{array}{cc}-2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$, de spectre $\{-2{\mathrm{e}}^{-2},2{\mathrm{e}}^{-2}\}$ : deux réels non nuls de signes distincts, donc point selle.

Le minimum est même global. Pour tout $(x,y)$, $f(x,y)⩾0$ comme produit de deux quantités positives, et $f(x,y)=0$ impose $x^2+y^2=0$, c'est-à-dire $(x,y)=(0,0)$. Le minimum local est donc un minimum global strict — conclusion que la hessienne seule ne permettait pas d'obtenir, puisque son spectre n'est pas positif en tout point (il ne l'est pas en $(2,0)$).