Un profit maximal, sans calculer les valeurs propres

Point critique. ${\partial }_{1}P=40-4x-2y$ et ${\partial }_{2}P=50-2x-6y$ donnent $2x+y=20$ et $x+3y=25$. De la première, $y=20-2x$ ; en reportant, $x+60-6x=25$, soit $x=7$ et $y=6$. Alors $P(7,6)=280+300-98-84-108=290$.

Hessienne. $A=\left(\begin{array}{cc}-4& -2\\ -2& -6\end{array}\right)$, la même en tout point de ${\mathbb{R}}^2$.

Le signe de la fonction quadratique. Pour $h=(h_1,h_2)$, $q(h)={}^{t}HAH=-4h_1^2-4h_1{h}_2-6h_2^2$. Sous forme canonique,

$$q(h)=-4{\left(h_1+\frac{h_2}{2}\right)}^2+h_2^2-6h_2^2=-4{\left(h_1+\frac{h_2}{2}\right)}^2-5h_2^2,$$

somme de deux termes négatifs, nulle seulement en $h=0$. Donc $q(h)<0$ pour tout $h\ne 0$.

Ce que cela dit du spectre. Si $\lambda$ est valeur propre de vecteur propre unitaire $u$, de colonne $U$, alors $q(u)={}^{t}UAU=\lambda {}^{t}UU=\lambda$, donc $\lambda <0$. Le spectre est inclus dans ${\mathbb{R}}_{-}^{\ast }$, en tout point puisque $A$ est constante.

Conclusion. ${\mathbb{R}}^2$ est ouvert et convexe : par la condition suffisante d'extremum global, $P$ admet un maximum global en $(7,6)$, de valeur $290$.

Le point à retenir. La forme canonique lit le signe de $q$ sans passer par les valeurs propres — et c'est ce signe, non les valeurs propres elles-mêmes, que le théorème utilise réellement.