Une condition nécessaire, et rien de plus

La condition du premier ordre. Avec $g(x,y)=x+y$, s'il existe un extremum local de la restriction de $f$ à la contrainte, il existe $\lambda$ tel que $$2x=\lambda ,2y=\lambda .$$ Donc $x=y$, et la contrainte donne $x=y=1$, avec $\lambda =2$. Le seul point candidat est $(1,1)$, où $f$ vaut $2$.

Ce que ce point est vraiment. Reportons la contrainte dans $f$ : $$\phi (x)=f(x,2-x)=x^2+(2-x{)}^2=2x^2-4x+4=2(x-1{)}^2+2.$$ Cette fonction admet un minimum en $x=1$, et elle tend vers $+\infty$ quand $|x|\to +\infty$. Le point $(1,1)$ est donc le point de la droite le plus proche de l'origine, et le problème posé — trouver un maximum — n'a pas de solution : $f$ n'est pas majorée sur la contrainte.

La leçon. Le théorème énonce une condition nécessaire. Il ne dit pas qu'un extremum existe, ni de quelle sorte il est. Résoudre le système et s'arrêter là, c'est ici conclure exactement le contraire de la vérité.

La bonne méthode. Après avoir résolu la condition du premier ordre, il faut toujours trancher, par l'un des deux moyens du chapitre : reporter la contrainte pour se ramener à une fonction d'une variable de moins — c'est ce qu'on a fait — ou, quand la contrainte définit un ensemble fermé borné, invoquer l'existence des bornes. Ici la droite n'est pas bornée : rien ne garantissait un maximum.